明镜止水

下午等考科目三的时候想到的一个问题.

给定一定的skill level k,结果的pass的score s与否应该是一个类似:
s = k*p
的关于p的一个概率关系.

也就是固有的技能熟练程度随一个分布的"随机"波动.

考虑把概率p展开为加权w的因素f的多项式看的话.
即类似:
p = w_1*f_1 + w_2*f_2 + ... = \sum w_i*f_i

则s=k*p
->
s = k*\sum w_i*f_i

这个形式好像没什么意义.

但如果换个思路写成
s = k + w_i*f_i + w_2*f_2 + ...
的话,即在给定技能水平的条件下,最终结果取决于跟其他因素的一个某种形式的和.

实际形式可能是
s = c_0(k) + c_1(w_i*f_i) + c_2(w_2*f_2) + ...
的形式.
其中c_n为某种到s的space的mapping functions.

通俗地说,就是给定技能水平的话,实际的结果收到一些f因素的影响.
也就是对分布p的波动性的某种形式的解释.

一个前提假设.
如果是绝对理性/理想的情况下,那么给定一定的k,则有一个相对于的固定的s.

现在引入c(w,f)作为对p的解释的话.
也就是说s的最终取值收到参考因素的影响/贡献.

实际的例子可能是f为紧张程度,或者环境因素.
对s的影响的形式就是比如过于紧张/环境关系造成的发挥失常/超常等的一种波动性的解释.

也就是当c(w,f)为positive的时候,对s的贡献就是正的.
换句话说,就是这个因素对技能水平的观测/评测有着积极的/超常的作用.

反之类似.

那么单从等式的角度来说,就存在一些解,使得最终的s尽可能地最大化.

即,如果能够分清因素对"发挥"这种行为是正面还是负面影响的话,就有可能使得最终的结果收益尽可能地大.

当然,这里c(w,f)可能隐含一种相互的约束.
因为s应该是一个bounded的,所以c(w,f)应该也是bounded的.
基于在这里认为c_0(k)是一个绝对中立/理性的值.

但是实际来说,在结果出来直接可能很难判定一个因素的影响是积极的还是消极的.
就像"紧张"这种因素.

它可能使得人注意力分散,也可能反过来刺激人的肾上腺素对结果造成正面的影响.

也就是说,这种描述更多地像是对一个one shot的东西做的一个事后的补充解释.
而不能在事前发现和重复利用.

类似于可以事后给出一个形如:
s = c_0(k) + c_1(w_i*f_i) + c_2(w_2*f_2) + ...
的表达式.
其中c_n都是"已知"的表示.

即可以有任意的满足
s = s' = r(k,w_1,f_1,w_2,f_2...)的函数.

即使在当时能够分辨地出能够影响结果的因素的f_n.
那么依然有着w_n的free variable.
并不能够确切地做一个确定的描述.

如果有确切的描述的话,那么就是已知w_n和k.
最大化s的问题就变成调整因素f_n的问题了.

也就是相对可控的"紧张"到什么程度能让结果较优/最优.

问题是,实际上并不能在事前得到这么一种表达方式.

换个思路.

既然假设了c_0(k)是一个常量的话.
也就是假设技能水平是固定不变的.

那么对于
s = c_0(k) + c_1(w_i*f_i) + c_2(w_2*f_2) + ...
就存在一个关于s的确定的解,
即
s_0 = c_0(k)

也就是说,如果不做一些诸如maximize的speculate的动作,而是遵循实际的技能水平的话.
那么是有一个确定可预知的结果的.

这个解的约束是\sum c_i(w_i,f_i) = 0.

同样的,如果从general的角度来看的话,因为无法在事前确定c(w,f)的具体形式和描述.
所以事前并不能根据实际的描述,来通过调整相应的f取得满足上面约束的解.

但同样的考虑一个特殊形式.
即所有的c(w,f) = 0的情况.

这是对于上面约束的一个特殊解.

即,如果把能够影响结果的因素的贡献都降低到0.
那么也就相当于实际上把这个影响因素移出等式/排除掉了.

世俗上来说,就是如果能把"紧张"之类的情绪等因素排除掉干扰,那么就存在对结果的一种确定性的预期.

代价则是使得结果不存在变数,也就是不存在着某种程度的投机/优化.

所谓的明镜止水.